.
.
LITTERATURE-ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ
ΚΕΙΜΕΝΑ-TEXTS-Χ.Ν.Κουβελης[C.N.Couvelis}
Ευκλειδης,Πυθαγορειο Θεωρημα-Πλατων,Μηδεις Αγεωμετρητος Εισιτω
- χ.ν.κουβελης c.n.couvelis
.
.
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ-Η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ
[ΣΤΟΙΧΕΙΑ του Ευκλειδη-Βιβλιο 1,Προταση 47}
[Αρχαιο κειμενο-μεταφραση χ.ν.κουβελης]
.
1.47] ἐν τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν
ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν
ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις.
ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΒΑΓ
γωνίαν· λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ
τῶν ΒΑ, ΑΓ τετραγώνοις.
ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ μὲν τῆς ΒΓ τετράγωνον τὸ ΒΔΕΓ, ἀπὸ
δὲ τῶν ΒΑ, ΑΓ τὰ ΗΒ, ΘΓ, καὶ διὰ τοῦ Α ὁποτέρᾳ τῶν ΒΔ, ΓΕ
παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΛ· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΖΓ. καὶ ἐπεὶ
ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΑΓ, ΒΑΗ γωνιῶν, πρὸς δή τινι
εὐθείᾳ τῇ ΒΑ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΓ,
ΑΗ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰς ἐφεξῆς γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς
ἴσας ποιοῦσιν· ἐπ᾽ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΑ τῇ ΑΗ. διὰ τὰ αὐτὰ
δὴ καὶ ἡ ΒΑ τῇ ΑΘ ἐστιν ἐπ᾽ εὐθείας. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ
ΔΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΒΑ —ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα— κοινὴ προσκεί-
σθω ἡ ὑπὸ ΑΒΓ· ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΒΑ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ ἐστιν ἴση.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΔΒ τῇ ΒΓ, ἡ δὲ ΖΒ τῇ ΒΑ, δύο δὴ αἱ ΔΒ,
ΒΑ δύο ταῖς ΖΒ, ΒΓ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ
ΔΒΑ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ ἴση· βάσις ἄρα ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΖΓ {ἐστιν}
ἴση, καὶ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΖΒΓ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον· καὶ {ἐστι}
τοῦ μὲν ΑΒΔ τριγώνου διπλάσιον τὸ ΒΛ παραλληλόγραμμον·
βάσιν τε γὰρ τὴν αὐτὴν ἔχουσι τὴν ΒΔ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς εἰσι πα-
ραλλήλοις ταῖς ΒΔ, ΑΛ· τοῦ δὲ ΖΒΓ τριγώνου διπλάσιον τὸ ΗΒ
τετράγωνον· βάσιν τε γὰρ πάλιν τὴν αὐτὴν ἔχουσι τὴν ΖΒ καὶ ἐν
ταῖς αὐταῖς εἰσι παραλλήλοις ταῖς ΖΒ, ΗΓ. {τὰ δὲ τῶν ἴσων δι-
πλάσια ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·} ἴσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΒΛ παραλλη-
λόγραμμον τῷ ΗΒ τετραγώνῳ. ὁμοίως δὴ ἐπιζευγνυμένων τῶν
ΑΕ, ΒΚ δειχθήσεται καὶ τὸ ΓΛ παραλληλόγραμμον ἴσον τῷ ΘΓ
τετραγώνῳ· ὅλον ἄρα τὸ ΒΔΕΓ τετράγωνον δυσὶ τοῖς ΗΒ, ΘΓ
τετραγώνοις ἴσον ἐστίν. καί ἐστι τὸ μὲν ΒΔΕΓ τετράγωνον ἀπὸ
τῆς ΒΓ ἀναγραφέν, τὰ δὲ ΗΒ, ΘΓ ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ. τὸ ἄρα ἀπὸ
τῆς ΒΓ πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ
πλευρῶν τετραγώνοις.
ἐν ἄρα τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν
ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν
ὀρθὴν {γωνίαν} περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις· ὅπερ ἔδει
δεῖξαι.
.
.[μεταφραση χ.ν.κουβελης]
στα ορθογωνια τριγωνα το τετραγωνο της υποτεινουσας ,της
πλευρας απεναντι απο την ορθη γωνια,ειναι ισο με τα τετρα-
γωνα των πλευρων που περιεχουν την ορθη γωνια
εστω ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ που εχει τη γωνια ΒΑΓ ορθη.
λεω[υποθετω]:πως το τετραγωνο της ΒΓ ειναι ισο με τα τετρα-
γωνα των ΒΑ,ΑΓ
ας σχεδιασω απο τη ΒΓ το τετραγωνο ΒΔΕΙ,απο τις ΒΑ,ΑΓ τα
τετραγωνα ΗΒ,ΘΓ και δια Α σε καθε μια απο τις ΒΔ,ΓΕ φερνω
την παραλληλο ΑΛ,κι ας συνδεθουν τα ΑΔ,ΖΓ,και επειδη καθε
γωνια ΒΑΓ,ΒΑΗ ειναι ορθη,αφου προς την ευθεια ΒΑ και προς
το σημειο της Α οι δυο ευθειες ΑΓ,ΑΗ δεν βρισκονται στο ιδιο
μερος τις εφεξης γωνιες τις κανουν ισες με δυο ορθες γωνιες,
ευθεια γωνια,επομενως σε ευθεια ειναι η ΓΑ με την ΑΗ,
για τον ιδιο λογο σε ευθεια ειναι και η ΒΑ με τη ΑΘ,
και επειδη η γωνια ΔΒΓ ειναι ιση με τη γωνια ΖΒΑ-αφου καθεμια
ορθη-αν τους κανω κοινη,τους προσθεσω,τη γωνια ΑΒΓ τοτε
το αθροισμα,ολη,η γωνια ΔΒΑ ειναι ιση με το αθροισμα,ολη,τη γωνια
ΖΒΓ,και επειδη ειναι ιση η ΔΒ με τη ΒΓ,και η ΖΒ με τη ΒΑ,οι ΔΒ,ΒΑ
με τις ΖΒ,ΒΓ καθεμια με καθεμια,και η γωνια ΔΒΑ ιση με τη ΖΒΓ,
τοτε η βαση ΑΔ ειναι ιση με τη βαση ΖΓ,και το τριγωνο ΔΒΑ
ειναι ισο με το τριγωνο ΖΒΓ,και ειναι το παραλληλογραμμο ΒΛ
διπλασιο του τριγωνου ΑΒΔ,αφου εχουν την ιδια βαση τη ΒΔ και
ειναι στις ιδιες παραλληλες στις ΒΔ,ΑΛ,το ΗΒ τετραγωνο ειναι διπλα-
σιο του τριγωνου ΖΒΓ,παλι εχουν την ιδια βαση την ΖΒ και ειναι
στις ιδιες παραλληλες στις ΖΒ,ΗΓ,[τα διπλασια ισων ειναι το ενα
με το αλλο ισα],επομενως ισο ειναι και το παραλληλογραμμο ΒΛ
με το τετραγωνο ΗΒ,ομοια συνδεδεμενων των ΑΕ,ΒΕ αποδειχνεται
και το παραλληλογραμμο ΓΛ ισο με το τετραγωνο ΘΓ,
επομενως ολοκληρο το τετραγωνο ΒΔΕΓ ειναι ισο και με τα δυο τετρα-
γωνα ΗΒ,ΘΓ μαζι,και ειναι το τετραγωνο ΒΔΕΓ σχεδιασμενο απο
την ΒΓ,και τα τετραγωνα ΗΒ,ΘΓ απο τις ΒΑ,ΑΓ,επομενως το τετραγωνο
απο τη πλευρα ΒΓ ειναι ισο με τα τετραγωνα απο τις πλευρες ΒΑ,ΑΓ.
επομενως στα ορθογωνια τριγωνα το τετραγωνο της υποτεινουσας,
της πλευρας απεναντι απο την ορθη γωνια,ειναι ισο με τα τετρα-
γωνα των πλευρων που περιεχουν την ορθη γωνια.[οπερ εδει δειξαι].
αυτο ακριβως το οποιο επρεπε να αποδειχθει
.
.
.
.
LITTERATURE-ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ
ΚΕΙΜΕΝΑ-TEXTS-Χ.Ν.Κουβελης[C.N.Couvelis}
.
.
Ευκλειδης,Πυθαγορειο Θεωρημα-Πλατων,Μηδεις Αγεωμετρητος Εισιτω
- χ.ν.κουβελης c.n.couvelis
.
.
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ-Η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ
[ΣΤΟΙΧΕΙΑ του Ευκλειδη-Βιβλιο 1,Προταση 47}
[Αρχαιο κειμενο-μεταφραση χ.ν.κουβελης]
.
1.47] ἐν τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν
ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν
ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις.
ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΒΑΓ
γωνίαν· λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ
τῶν ΒΑ, ΑΓ τετραγώνοις.
ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ μὲν τῆς ΒΓ τετράγωνον τὸ ΒΔΕΓ, ἀπὸ
δὲ τῶν ΒΑ, ΑΓ τὰ ΗΒ, ΘΓ, καὶ διὰ τοῦ Α ὁποτέρᾳ τῶν ΒΔ, ΓΕ
παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΛ· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΖΓ. καὶ ἐπεὶ
ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΑΓ, ΒΑΗ γωνιῶν, πρὸς δή τινι
εὐθείᾳ τῇ ΒΑ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΓ,
ΑΗ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰς ἐφεξῆς γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς
ἴσας ποιοῦσιν· ἐπ᾽ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΑ τῇ ΑΗ. διὰ τὰ αὐτὰ
δὴ καὶ ἡ ΒΑ τῇ ΑΘ ἐστιν ἐπ᾽ εὐθείας. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ
ΔΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΒΑ —ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα— κοινὴ προσκεί-
σθω ἡ ὑπὸ ΑΒΓ· ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΒΑ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ ἐστιν ἴση.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΔΒ τῇ ΒΓ, ἡ δὲ ΖΒ τῇ ΒΑ, δύο δὴ αἱ ΔΒ,
ΒΑ δύο ταῖς ΖΒ, ΒΓ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ
ΔΒΑ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ ἴση· βάσις ἄρα ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΖΓ {ἐστιν}
ἴση, καὶ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΖΒΓ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον· καὶ {ἐστι}
τοῦ μὲν ΑΒΔ τριγώνου διπλάσιον τὸ ΒΛ παραλληλόγραμμον·
βάσιν τε γὰρ τὴν αὐτὴν ἔχουσι τὴν ΒΔ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς εἰσι πα-
ραλλήλοις ταῖς ΒΔ, ΑΛ· τοῦ δὲ ΖΒΓ τριγώνου διπλάσιον τὸ ΗΒ
τετράγωνον· βάσιν τε γὰρ πάλιν τὴν αὐτὴν ἔχουσι τὴν ΖΒ καὶ ἐν
ταῖς αὐταῖς εἰσι παραλλήλοις ταῖς ΖΒ, ΗΓ. {τὰ δὲ τῶν ἴσων δι-
πλάσια ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·} ἴσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΒΛ παραλλη-
λόγραμμον τῷ ΗΒ τετραγώνῳ. ὁμοίως δὴ ἐπιζευγνυμένων τῶν
ΑΕ, ΒΚ δειχθήσεται καὶ τὸ ΓΛ παραλληλόγραμμον ἴσον τῷ ΘΓ
τετραγώνῳ· ὅλον ἄρα τὸ ΒΔΕΓ τετράγωνον δυσὶ τοῖς ΗΒ, ΘΓ
τετραγώνοις ἴσον ἐστίν. καί ἐστι τὸ μὲν ΒΔΕΓ τετράγωνον ἀπὸ
τῆς ΒΓ ἀναγραφέν, τὰ δὲ ΗΒ, ΘΓ ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ. τὸ ἄρα ἀπὸ
τῆς ΒΓ πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ
πλευρῶν τετραγώνοις.
ἐν ἄρα τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν
ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν
ὀρθὴν {γωνίαν} περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις· ὅπερ ἔδει
δεῖξαι.
.
.[μεταφραση χ.ν.κουβελης]
στα ορθογωνια τριγωνα το τετραγωνο της υποτεινουσας ,της
πλευρας απεναντι απο την ορθη γωνια,ειναι ισο με τα τετρα-
γωνα των πλευρων που περιεχουν την ορθη γωνια
εστω ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ που εχει τη γωνια ΒΑΓ ορθη.
λεω[υποθετω]:πως το τετραγωνο της ΒΓ ειναι ισο με τα τετρα-
γωνα των ΒΑ,ΑΓ
ας σχεδιασω απο τη ΒΓ το τετραγωνο ΒΔΕΙ,απο τις ΒΑ,ΑΓ τα
τετραγωνα ΗΒ,ΘΓ και δια Α σε καθε μια απο τις ΒΔ,ΓΕ φερνω
την παραλληλο ΑΛ,κι ας συνδεθουν τα ΑΔ,ΖΓ,και επειδη καθε
γωνια ΒΑΓ,ΒΑΗ ειναι ορθη,αφου προς την ευθεια ΒΑ και προς
το σημειο της Α οι δυο ευθειες ΑΓ,ΑΗ δεν βρισκονται στο ιδιο
μερος τις εφεξης γωνιες τις κανουν ισες με δυο ορθες γωνιες,
ευθεια γωνια,επομενως σε ευθεια ειναι η ΓΑ με την ΑΗ,
για τον ιδιο λογο σε ευθεια ειναι και η ΒΑ με τη ΑΘ,
και επειδη η γωνια ΔΒΓ ειναι ιση με τη γωνια ΖΒΑ-αφου καθεμια
ορθη-αν τους κανω κοινη,τους προσθεσω,τη γωνια ΑΒΓ τοτε
το αθροισμα,ολη,η γωνια ΔΒΑ ειναι ιση με το αθροισμα,ολη,τη γωνια
ΖΒΓ,και επειδη ειναι ιση η ΔΒ με τη ΒΓ,και η ΖΒ με τη ΒΑ,οι ΔΒ,ΒΑ
με τις ΖΒ,ΒΓ καθεμια με καθεμια,και η γωνια ΔΒΑ ιση με τη ΖΒΓ,
τοτε η βαση ΑΔ ειναι ιση με τη βαση ΖΓ,και το τριγωνο ΔΒΑ
ειναι ισο με το τριγωνο ΖΒΓ,και ειναι το παραλληλογραμμο ΒΛ
διπλασιο του τριγωνου ΑΒΔ,αφου εχουν την ιδια βαση τη ΒΔ και
ειναι στις ιδιες παραλληλες στις ΒΔ,ΑΛ,το ΗΒ τετραγωνο ειναι διπλα-
σιο του τριγωνου ΖΒΓ,παλι εχουν την ιδια βαση την ΖΒ και ειναι
στις ιδιες παραλληλες στις ΖΒ,ΗΓ,[τα διπλασια ισων ειναι το ενα
με το αλλο ισα],επομενως ισο ειναι και το παραλληλογραμμο ΒΛ
με το τετραγωνο ΗΒ,ομοια συνδεδεμενων των ΑΕ,ΒΕ αποδειχνεται
και το παραλληλογραμμο ΓΛ ισο με το τετραγωνο ΘΓ,
επομενως ολοκληρο το τετραγωνο ΒΔΕΓ ειναι ισο και με τα δυο τετρα-
γωνα ΗΒ,ΘΓ μαζι,και ειναι το τετραγωνο ΒΔΕΓ σχεδιασμενο απο
την ΒΓ,και τα τετραγωνα ΗΒ,ΘΓ απο τις ΒΑ,ΑΓ,επομενως το τετραγωνο
απο τη πλευρα ΒΓ ειναι ισο με τα τετραγωνα απο τις πλευρες ΒΑ,ΑΓ.
επομενως στα ορθογωνια τριγωνα το τετραγωνο της υποτεινουσας,
της πλευρας απεναντι απο την ορθη γωνια,ειναι ισο με τα τετρα-
γωνα των πλευρων που περιεχουν την ορθη γωνια.[οπερ εδει δειξαι].
αυτο ακριβως το οποιο επρεπε να αποδειχθει
.
.
.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου